UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO

PROGRAMA EDUCATIVO:

INGENIERO CIVIL

MÉTODOS NUMÉRICOS

ALUMNO: DANIEL GUADALUPE SALAS FLORES

DOCENTE: LORENA ALONSO GUZMAN

401 T.M.

INDICE:
 - introducción
 - Métodos de solución no lineales
 - Métodos iterativos
 - Métodos cerrados
 - Métodos abiertos
 - Bibliográfica

 INTRODUCCIÓN
En este blog se desarrollaran los métodos que se ocupan para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesiones sucesivas aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales.



 MÉTODOS DE SOLUCIÓN NO LINEALES
MÉTODOS ITERATIVOS
Trata de resolver un problema como una ecuacion o un sistema de ecuaciones mediante aproximaciones sucesivas a la solucion, empezando desde una estimacion inicial.
Para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática, por ejemplo:
f (x) = 2x² + x² - 4 = 0

Un método directo para resolver es aplicar la formula general.
Un método iterativo consta de los siguientes pasos:
1. Inicia con una aproximada.
2. Ejecuta una serie de cálculos para obtener o construir una mejor aproximación. Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucren un número grande de variables, donde los métodos directos tendrían un coste prohibido incluso con la potencia del mejor computo disponible.

MÉTODOS CERRADOS
Los métodos cerrados se caracterizan porque una función cambia se signo en un intervalo que encierra la raíz y porque para desarrollar el algoritmo donde se encuentra la raíz necesita de dos valores iniciales entre los cuales se encuentra la misma.
Los métodos cerrados se clasifican en:

• Método gráfico
• Método de Biseccion
• Falsa Posición

MÉTODO GRÁFICO
Este método es por medio de gráficas vamos a obtener las posibles raíces de una función f(x) en un cierto intervalo que nosotras queramos escoger, de preferencia uno no tan largo y otro no tan corto.
 A continuación unos ejemplos del método gráfico, ejercicio de clase:

MÉTODO DE BISECCION
Este método busca la raíz de una función, tomando un intervalo inicial y reduciendo gradualmente a la mitad, hasta hallar una aproximación o la raíz que satisface la función.
Este método plantea que si se cumple que:

• f(x) es real y continua en el intervalo que va desde un Xi hasta un Xs.
• f(Xi) f(Xs) < 0

Si se cumple lo anterior, por lo menos existe una raíz dentro de este intervalo. El procedimiento es el siguiente:

• Se elige un intervalo inicial para función f(x)
• Luego se busca localizar la raíz con mayor exactitud dentro del intervalo dividiendo a la mitad y observando si se conservan las condiciones iniciales.
• Se compara el Xmed con cada uno de los limites del intervalo y se observa que producto cambia de signo y se asigna un nuevo intervalo.
• Se vuelve a repetir el proceso, y se va poniendo pequeño el intervalo hasta llegar a una aproximación de la raíz o la raíz exacta.

Al aplicarse el método se puede apreciar que la aproximación a la raíz mejora cada vez que el intervalo se hace mas pequeño.

FALSA POSICIÓN

  

Encontrar la intersección de una recta conformada por los puntos a y b con el eje x, y obtener nuevos intervalos mas pequeños, lo la cual  permite una  aproximación a una raíz.

Este método conserva todas las características y condiciones que posee el método de bisseccion, excepto por la forma de calcular el punto intermedio del intervalo.

Para aplicar el método se debe tener en cuenta:

• Si se tiene dos puntos (a, f((a)) y (b, f(b)) y se traza la recta que une a estos dos puntos, se puede observar que un punto esta por debajo del eje x y otro por encima de este, y punto intermedio (Xm, 0), con este punto intermedio se puede comparar y obtener un nuevo intervalo.
• Si f(A) y f(B) < 0, entonces la raíz se encuentra al lado izquierdo del intervalo.
• Si f(A) y f(B) > 0, entonces la raíz se encuentra al lado derecho del intervalo.
• Para hallar la intersección se la recta con el eje X usamos la siguiente formula:

  Xm = a - ((f(A)*(b-a))/(f(b)-f(a)))

El método de la regla falsa converge mas rápidamente que el de biseccion porque al permanecer uno de sus valores iniciales fijo el numero de cálculos se reduce mientras que el otro valor inicial converge en la raíz.

EJERCICIOS DE CLASES

MÉTODOS ABIERTOS
Los métodos abiertos, a diferencia de los cerrados, calcula en cada iteracion una aproximación de la raíz y se despreocupan de verificar si esta aproximación genera o no un intervalo que contenga una raíz.
Los métodos abiertos son:

• Método de punto fijo
• Método de Newton Raphson
• Método de la Secante
• Método de Raíces Múltiples

MÉTODO DE PUNTO FIJO
Busca una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un numero de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo.
A partir de una ecuación f(x) = 0 se genera una ecuación X = g(x), a la cual se le busca una solución, y se debe tener en cuenta lo siguiente:

• Se busca un valor de x que al reemplazarlo en g, el resultado sea X.
• Se debe elegir una aproximación inicial Xo
• Se calcula X1 = g (Xo)
• Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

El método de newton por su rapidez y efectividad, es uno de los métodos más utilizados; este método es una variable del método de punto fijo, por lo cual se debe calcular una función g , esta función g se puede calcular de la forma:

g(X) = X – (f(X)/f ‘ (x))

Una vez definida la función g, se debe realizar los siguientes pasos, como en el método de punto fijo.

•  Se debe elegir una aproximación inicial Xo
•  Se calcula X1=g(Xo)
• Se calcula X2=g(X1)
• ..............   Xn=g(Xn-1)
• Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación de la raíz.

EJERCICIO DE CLASE

MÉTODO DE LA SECANTE

Busca una raíz de una función a partir de dos valores iniciales, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo.

El método de la secante se define como una variante del método de Newton. A partir de la ecuación iterativa que define el método de Newton, se sustituye la derivada por una expresión que la aproxima:

X2 = X1 – ((f(X1)*(X1-Xo))/(f(X1)-f(Xo))

•           Se debe elegir dos aproximaciones iniciales X₁ y X₀
•          Se calcula X2= Expresión  ---------- Xn = Expresión (n-1)
•              Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación.

EJERCICIOS DE CLASES

MÉTODO DE LAS RAÍCES MÚLTIPLES

Buscar una raíz de una función a partir de un valor inicial, una tolerancia y un número de iteraciones, para este caso no es necesario tener un intervalo.

Una de las condiciones para garantizar la convergencia del método de Newton es que f ´(Xv) tiene que ser diferente de cero . Si al ejecutar el método de Newton se observa que f´(xn)  se aproxima a cero, la rapidez del método disminuye y hay una posible raíz múltiple.

El método de raíz múltiple también es conocido como el método de Newton mejorado, y básicamente su estructura es muy similar excepto de que se debe hallar la segunda derivada y se debe tomar en cuenta  la siguiente expresión:

X_n+1 = X_n – ((f(X_n)*f´(X_n))/((f`(X_n)^2 - (f(X_n)*f´´(X_n)))

Una vez definida la expresión anterior, se procede de una forma similar al método de Newton   

•  Se debe elegir una aproximación iniciales X₀
•  Se calcula X1= Expresión  ---------- Xn = Expresión (n-1)
•  Y se repite el paso anterior hasta llegar a una aproximación.

BIBLIOGRAFIA
Apuntes de clases

https://sites.google.com/site/metnumvmc/unidad-i-2/1-5-metodos-iterativos de aquí solicite mi investigación de la unidad.